Superposição de ondas e funções harmônicas





Linearidade da equação de onda e superposição das soluções

A solução da equação de onda linear é qualquer função que dependa de x e t através do argumento u = x - vt:

y(x,t) = f(x - vt) = f(u)

e v é a velocidade de propagação, positiva ou negativa.

Cada função f(u) cabível representa a deformação da corda causada por um determinado pulso ou trem de ondas, produzido numa corda de determinada forma. O fato da equação diferencial que rege a propagação de pequenas perturbações numa corda esticada ser linear implica que, se for possível a produção simultânea dos pulsos f(u) e g(u), a deformação total da corda será dada por

y(x,t) = f(u) + g(u)

Isso também vale para pulsos se propagando em sentidos opostos,

y(x,t) = f(x - vt) + g(x + vt)

A aditividade das soluções significa que os dois eventos representados por f(u) e g(u) não se afetam mutuamente, já que cada um deles continua sendo descrito do mesmo modo que na ausência do outro. Num uso muito comum da palavra, poderíamos dizer que os dois eventos não interferem um no outro. Entretanto, a palavra interferência é usada no estudo das ondas com outro sentido, justamente o de designar a superposição de ondas harmônicas.

A superposição de funções harmônicas causa alguns efeitos muito interessantes. Aqui vamos discutir alguns casos especiais de superposição de funções harmônicas representando ondas ou sinais temporais, que possuem relevante interesse físico.


Interferência de ondas e sinais harmônicos

Nos exemplos discutidos a seguir, com exceção da série de Fourier, estaremos tratando de casos particulares da superposição de duas ondas ou sinais harmônicos:

S(u) = A1sen(k1u + f1) + A2sen(k2u + f2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . (1)

Nos casos onde o caráter espacial é importante trataremos de ondas e o argumento u conterá a dependência da posição e do tempo. Em outros exemplos, teremos a superposição de sinais temporais, como o que acontece quando estamos em algum lugar ouvindo som proveniente de muitas fontes, e a parte importante de u será a que depende do tempo.

A seguinte identidade trigonométrica é usada nos exemplos:

sen(a) + sen(b) = sen(m - d) + sen(m + d) = 2cos(d)sen(m) . . . . . . . (2)

onde m = (a + b)/2 (média de a e b) e d = (b - a)/2 (semi-diferença entre b e a).


Interferência de ondas de mesmo comprimento de onda e diferentes fases

O comprimento de onda é o mesmo, portanto k1 = k2 = k. Para simplificar, consideremos as amplitudes das duas funções iguais: A1 = A2 = A. Teremos

S(u) = Asen(ku + f1) + Asen(ku + f2)

Definindo-se f como a média das fases e Df = f2 - f1 como sua diferença, poderemos escrever a resultante como:

S(u) = Asen(ku + f - Df/2) + Asen(ku + f + Df/2)

e usando a relação (2) obter finalmente

S(u) = 2Acos(Df/2)sen(ku + f) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (3)

A resultante é uma onda com mesmo comprimento e fator de fase igual à fase média f, com amplitude igual a 2Acos(Df/2). A depender da diferença de fase, as amplitudes podem se reforçar ou cancelar, em maior ou menor grau. Vide Figura 1, que mostra duas funções de mesma amplitude e período com diferença de fase de p/4 reforçando-se parcialmente. O valor máximo ocorre quando Df/2 é múltiplo inteiro de p, então a resultante é 2Asen(ku + f).

Por outro lado, se Df/2 = (2n + 1)p/2, as ondas anulam-se completamente. Vide Figura 2.

Exemplos. Veremos a seguir dois exemplos do efeito da diferença de fase na soma de funções harmônicas, referindo-se um à superposição de ondas de mesmo comprimento de onda e o outro à superposição de sinais de mesma freqüência provenientes de duas fontes. Esses exemplos são 1) o interferômetro, que divide uma onda e torna a reuní-la após cada parte percorrer caminhos diferentes, e mede a diferença de fase que daí resulta, e 2) a interferência de sinais provenientes de duas fontes.

Exemplo 1: O gráficos mostrados abaixo são obtidos na atividade com gráfico interativo em Visual Basic aqui disponível que mostrara importância da fase na interferência de ondas de mesmo comprimento ou de sinais de mesmo período.

Figura 1. Duas funções harmônicas de mesmo período e mesma amplitude com diferença de fase igual a p/4, têm suas amplitudes parcialmente reforçadas (S1 em verde, S2 em azul, soma S = S1 + S2 em vermelho.)

Figura 2. Duas funções harmônicas de mesmo período e mesma amplitude com diferença de fase igual a p, em azul e verde, cancelam-se exatamente (soma em vermelho).

Exemplo 2. A seguinte animação interativa mostra outro exemplo de interferência de sinais harmônicos de mesmo período e fases diferentesa, a interferência de fonte dupla.


Ondas estacionárias

Um caso importante de interferência se dá com a superposiçao de duas ondas harmônicas se propagando em sentidos opostos, com velocidades v e -v. Neste caso, a diferença de fase não é muito relevante, e pode ser feita igual a zero por uma escolha conveniente das origens da posição e do tempo. Como o caráter espacial neste exemplo é relevante, trataremos as variáveis x e t independentemente. A deformação da corda em função de x no instante t será dada pela função y(x,t) obtida pela superposição das ondas progressiva e retrógrada como:

y(x,t) = Asen(kx - wt) + Asen(kx + wt).

Usando a relação (2), a resultante será dada por

y(x,t) = 2Acos(wt)sen(kx) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . (4)

Isso representa uma função senoidal estática, com amplitude variável no tempo igual a 2Acos(wt).

Animação interativa: veja propagação de ondas progressivas e retrógradas de mesma freqüência e comprimento de onda, e observe como a superposição de ambas dá origem a uma onda estacionária.

Figura 3. Superposição de ondas harmônicas progressiva e retrógrada de mesmo comprimento de onda. A soma é mostrada em azul.


Batimento

O batimento acontece com a superposição de ondas ou sinais harmônicos de freqüências não muito diferentes. Um exemplo disso ocorre quando o som emitido por duas fontes com freqüências w1 e w2 se superpõe num determinado ponto onde se encontra um ouvinte. A amplitude de cada sinal sonoro depende da intensidade da fonte e da distância do ponto à fonte respectiva, e a diferença de fase entre os sinais depende da fase com que foram gerados e da diferença dos caminhos percorridos pelos dois. Pela linearidade, o sinal sonoro ouvido no ponto considerado é a soma dos dois sinais:

S(t) = A1sen(w1t + f1) + A2sen(w2t + f2)

A fase não é relevante, e pode ser feita igual a zero com escolha conveniente de origem do tempo. Considerando para simplificar que as intensidades dos dois sinais são iguais, o sinal total será

S(t) = Asen(w1t) + Asen(w2t).

Usando a média e a diferença das freqüências, respectivamente w e Dw, e aplicando a identidade (2), obtemos ao final:

S(t) = Asen(wt - Dwt/2) + Asen(wt + Dwt/2) = 2Acos(Dwt/2)sen(wt) . . . . . . . . . (5)

Isso é o produto de duas funções senoidais do tempo; o resultado é um sinal de freqüência igual à média das freqüências componentes, cuja amplitude varia periodicamente no tempo com freqüência igual à sua semi-diferença. Temos aqui um exemplo de "amplitude modulada": o sinal portador é o sinal de alta freqüência, e sua amplitude é determinada a cada instante pelo sinal modulador de baixa freqüência.

Figura 4. Superposição de duas funções harmônicas de mesma amplitude e períodos diferentes (mostrando apenas a soma das funções, em vermelho). No exemplo representado aqui, k deve ser interpretado como uma freqüência angular.

Determinando-se a freqüência de batimento é possível determinar com precisão a diferença entre duas freqüências muito próximas. Por exemplo, o batimento entre uma nota de referência (dada por um diapasão) e a nota emitida por um instrumento musical quando está sendo afinado permite ao afinador distinguir pequenas diferenças de freqüência e afinar o instrumento com precisão.

Outra aplicação é para determinar a diferença de freqüência entre a onda emitida e a refletida, num radar para determinação da velocidade de automóveis baseado no efeito Doppler.

Experimento de demonstração: batimento de dois diapasões com pequena diferença de freqüência.

Gráfico interativo e experimento com som: veja e ouça o que é batimento.

Atividade: crie, veja e ouça sinais sonoros demonstrando o batimento no editor de som "CoolEdit".



Séries de Fourier

Por simplicidade, vamos considerar aqui um sinal temporal, e vamos falar de freqüências, e não de comprimentos de onda. Mas é muito simples aplicar esses resultados para ondas, substituindo a variável t por u = x - vt.

Qualquer (ou quase) função periódica de freqüência f pode ser representada como uma série de Fourier, ou seja, ser representada como a soma de funções harmônicas de freqüência múltipla inteira de f.

f(u) = .....

fn = nf0

f0 = 1/T0 = v/L

Ansen(2pfnt + fn)

Os coeficientes an e bn são determinados pelas integrais seguintes:

an =

bn =

Referência: leia sobre as séries de Fourier.

Gráfico interativo: veja o gráfico da função que representa a superposição dos dez primeiros componentes de Fourier, com amplitudes definidas pelo usuário.

Figura 5. Superposição das dez primeiras componentes da série de Fourier da função dente-de-serra.

Atividade: sintetize e ouça sons a correspondendo a expansão em séries de Fourier de determinadas funções. Observe a relação entre o timbre de um som e suas componentes de Fourier. O som ouvido depende das fases das componentes?