Números Complexos
 
Número complexo z

z = x + iy

onde

x = Re(z)
y = Im(z)

são números reais e i é o número que satisfaz à equação i2 = -1
 

O número complexo z é representado por um par ordenado (x,y), respectivamente sua parte real e sua parte imaginária, que corresponde a um ponto do plano dos números complexos. Os números reais são aqueles números para os quais a parte imaginária é zero, ou seja, correpondem aos pontos que estão sobre o eixo horizontal. Da mesma forma, os números puramente imaginários são aqueles que correspondem aos pontos sobre o eixo vertical, para os quais a parte real é nula.

Define-se o o número complexo conjugado de um número complexo z, representado por z*, como

z* = Re(z) - iIm(z)

Dessa forma, o produto de um número z por seu conjugado z* é um número real positivo definido, igual a zero se e somente se o número z é zero:

zz* = x2 + y2
 

Forma polar

Explorando-se a representação geométrica dos números complexos (plano dos números complexos), o número complexo z pode ser escrito como

z  =  r(cosq + i senq)

onde o módulo ré o número real positivo dado por

r2 = zz* = x2 + y2

e o argumento q é o ângulo que satisfaz a
e
 

Algumas Funções Complexas de Variáveis Complexas
 

Função exponencial

A função exponencial de um número complexo z é obtida pela extensão para um argumento complexo da série de potências que define a exponencial de um argumento real, e pela identificação de seus termos real e imaginário com as séries de potências que definem as funções cosseno e seno, respectivamente:

exp(z) = exp(x)(cosy  +  i seny)

Usando essa definição podemos reescrever a forma polar de um número complexo z como:

z = r exp(iq)

(exercício: escreva o número i na representação exponencial da forma polar)
 

Mostre, a partir da definição de exp(z), que para quaisquer z e z' complexos, n inteiro e r racional, as seguintes propriedades são verdadeiras:

a)    exp(z + z') = exp(z).exp(z')
b)    exp(z) ¹ 0
c)    1/exp(z) = exp(-z)
d)    exp(z + i2np) = exp(z)
e)    exp(z)r  = exp(rz)
 
 
 

Números Complexos e Grandezas Físicas

As grandezas físicas são representadas por números reais. Se estamos trabalhando com números complexos para resolver uma equação física isso se dá porquê muitas vezes a solução matemática do problema com números complexos é mais fácil. Uma vez obtida a solução matemática do problema, precisamos obter a solução física, que é um resultado real, a partir do resultado complexo.

Se z(t) é uma função complexa do tempo que satisfaz a uma equação diferencial linear homogênea a coeficientes reais, então suas partes real e imaginária também satisfazem, independentemente, a mesma equação linear homogênea:

Lz(t) = Lx(t) + iLy(t) = 0 Û Lx(t) = Ly(t) = 0

No caso de uma equação diferencial não homogênea, as partes real e imaginária se separam em duas equações diferenciais não homogêneas:

Lz(t) = W(t)  Û Lx(t) = Re(W(t))  e  Ly(t) = Im(W(t))

Portanto, no caso de equações diferenciais lineares, podemos resolvê-las com o recurso a números complexos e no final tomarmos só a parte a real ou só a parte imaginária da solução complexa (a depender de como tenha sido definida a função W(t) complexa a partir da equação diferencial não homogênea original).

Exemplo: a solução geral do oscilador harmônico simples e sua adequação a condições iniciais dadas.

A equação do movimento do oscilador harmônico simples possui duas soluções independentes. A solução geral é obtida pela superposição das duas soluções, e a posição e a velocidade do oscilador harmônico simples em função do tempo são dadas por:

x(t) = Re[Cexp(iwt) + Dexp(-iwt)]
v(t) = Re[iwCexp(iwt) - iwDexp(-iwt)]

Determine C e D de forma que x(t=0) = x0 e v(t=0) = v0.
- observe que temos 4 incógnitas: dois números complexos, cada qual com as suas 2 partes real e imaginária, e apenas duas equações. C e D não poderão ser completamente determinados a partir das condições iniciais.
- mostre que C e D não podem ser ambos reais puros, a não ser que v0 = 0, e que C e D não podem ser ambos imaginários puros, a não ser que x0 = 0.
- mostre que se você fizer D = C*, o complexo conjugado de C, a posição e a velocidade podem ser escritas como

x(t) = Cexp(iwt) + C*exp(-iwt)
v(t) = iwCexp(iwt) - iwC*exp(-iwt)

onde tiramos o símbolo Re[...] pois tais números são reais puros, para os quais a parte real é igual ao próprio número. (Mostre que x(t) e v(t) definidos acima são números reais).